闽城网-福建主流媒体,闽城--

闽城资讯网-国内外新闻时事,奇事,新鲜事

高考数学-函数零点问题及例题解析

更新时间:2020-10-13 06:00点击:

  高考数学-函数零点问题及例题解析_高考_高中教育_教育专区。函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点:(变号零点与不变号零点) (1)对于函数 y f (x) ,我们把方程 f (x) 0 的实数根叫函数 y f (x) 的零点。

  函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点:(变号零点与不变号零点) (1)对于函数 y f (x) ,我们把方程 f (x) 0 的实数根叫函数 y f (x) 的零点。 (2)方程 f (x) 0 有实根 函数 y f (x) 的图像与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点。 若函数 f (x) 在区间a,b 上的图像是连续的曲线,则 f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间 a,b 内有零点的 充分不必要条件。 2、二分法:对于在区间[a, b] 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y f (x) ,通过不断地把函数 y f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似 值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧 零点是经常考察的重点,对此部分的做题方法总结如下: (一)函数零点的存在性定理指出:“如果函数 y f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且 f (a) f (b) 0 ,那么,函数 y f (x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c (a,b) , 使得 f (c) 0 ,这个 c 也是方程 f (x) 0 的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区 间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时,一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必要条件:如 例、函数 f (x) ln(x 1) 2 的零点所在的大致区间是( ) x (A)(0,1); (B)(1,2); (C) (2,e); (D)(3,4)。 分析:显然函数 f (x) ln(x 1) 2 在区间[1,2]上是连续函数,且 f (1) 0 , f (2) 0 ,所 x 以由根的存在性定理可知,函数 f (x) ln(x 1) 2 的零点所在的大致区间是(1,2),选 B x (二)求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。 函数零点的存在性定理,它仅能判断零点的存在性,不能求出零点的个数。对函数零点的 个数问题,我们可以通过适当构造函数,利用函数的图象和性质进行求解。如: 1 1.对于求一个陌生函数的零点个数,若能把已知函数分解成两个熟悉的函数,那么可利 用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如: 例.求 f (x) x 2 2 x 零点的个数。 分析:本题直接求解,无法下手,由函数 f (x) x 2 2 x 的零点也是方程 f (x) x 2 2 x 0 的 根,即方程 x2 2x 的解,但这个方程不是熟悉的常规方程,由方程的解与两函数图象交点的 关系,可构造函数 y1 x 2 、y2 2 x ,在同一坐标系中作出它们的图象,可得出它们有三个交点, 所以 f (x) x 2 2 x 零点的个数有三个。 2.对于一元高次函数,可利用导数法研究函数图象的特征,作出函数的图象,确定图象与 X 轴交点的情况求解。(导数专题再续讲) (三)求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数,可通过研究式子的特征, 构造新函数,转化求解。如: 例、求函数 f (x) (5x 3)5 x5 6x 3 的零点。 分 析 :考 察 f (x) (5x 3)5 x5 6x 3 0 的 特点 ,直 接 求解 难以 入手 ,可 转 化为 求 (5x 3)5 (5x 3) (x5 x) 的解,根据式子特点构造函数 g(x) x5 x ,显然 g(x) 为奇函数, 且在 R 上单调递增,由 (5x 3)5 (5x 3) (x5 x) 可化为 g(5x 3) g(x) g(x) ,故利用 函数 g(x) 的性质可得5x 3 x,则 x 1 ,所以函数 f (x) 的零点为 x 1 2 2 2 基础练习 1、下列函数中,不能用二分法求零点的是( )答案 B 2、已知函数 f (x) 的图象是连续的,有如下表。函数 f (x) 在区间[1,6] 上的零点至少有( ) 答案 C x 1 2 3 4 5 6 f (x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 53.76 -126.49 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3. 设 、 分别是方程 log2 x x 4 0和2x x 4 0 的根,则 + = 。答案 4 4. 已知函数 f (x) x 2 (a, b 为常数),且方程 f (x) x 12 0 有两实根 3 和 4 ax b (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)设 k 1,解关于 x 的不等式: f (x) (k 1)x k 2x 解: (1)即方程 x 2 x 12 0 有两根 3 和 4,所以 ax b 9 3a16 4a b b 9 8 0 0 得 a b 1所以 2 f (x) x2 2x (2)即 x2 (k 1)x k 整理的 (x 2)(x 1)(x k) 0 2x 2x 1 k 2 时,不等式的解集{x 1 x k或x 2} ;k 2 时,不等式的解集{x 1 x 2或x 2}; k 2 时,不等式的解集{x 1 x 2或x k} 3

上一篇:收藏!大学新生开学报到完整流程 下一篇:没有了