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这种零点个数问题怎么求?

更新时间:2020-07-21 15:08点击:

  这个题本质上是问f(x)=x^2与g(x)=1.5^x这两条直线相交于几个点。我们容易验证以下几个式子:

  为什么不是四个点呢?其实看一下f与g的线我们就知道了。f是一个u型线,先向下,再向上,最低点在0。g是一个单调递增的线之上。因此在负半轴,两者一个在上升一个在下降,只会相交一次。

  在正半轴,f,g都上升,我们可以把他们想像为两个人赛跑。0点处f在g之下,无穷远处g比f增长得快,因此f只有可能在开始g增速较慢时超过g,之后一旦再被g反超,则再也追不上了。这两次相互反超即为两处零点。另一种可能是f从未追上过g,那么在正半轴就没有零点。因此零点数只有可能为0或2,即总零点数不是1就是3。因此问题的关键是确定f是否可以反超g。我们发现在1.5与2,f都处于g之上,因此共三个零点。